dowód gauspn: Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n⁷−n jest podzielna przez 7. Ja rozpisałem co umiałem, prosze o pomoc. (n⁷−n)=n(n⁶−1)=n(n³−1)(n³+1)=n(n−1)(n²+n−1)(n+1)(n²−n+1)=

Artur z miasta Neptuna: no i rozpisujesz na 7 przypadków: 1^o n = 0 mod 7 2^o n = 1 mod 7 3^o n = 2 mod 7 .... itd. 7^o n = 6 mod 7

Basia: to akurat najłatwiej udowodnić indukcyjnie, ale nie wiem czy znasz tę metodę

Artur z miasta Neptuna: od razu podpowiem ... przypadek 1^o załatwia człon 'n', 2^o 'n−1', a 7^o 'n+1' pozostałe 4 przypadki załatwiają (n²+n−1) i (n²−n+1)

gauspn: Oczywiście indukcji nie sie nie uczyłem jeszcze. Ale jest dobrze rozpisane? Mam teraz pytanie co znaczy ten zapis: 1o n = 0 mod 7

Artur z miasta Neptuna: n= 0 mod 7 ... oznacza, że n dzielone przez 7 daje resztę '0' n = 3 mod 7 oznacza, że n dzielone przez7 daje resztę '3' (możesz to pisać słownie)

Artur z miasta Neptuna: i uwaga jeżeli: n = 2mod 7 to n² = 2² mod 7 = 4 mod 7 natomiast: n = 3mod 7 to n² = 3²mod7 = 9 mod7 = (9−7) mod 7 = 2mod 7

Basia: jak to szkoła średnia to i pojęcie "modulo" obce po prostu mamy siedem możliwych reszt przy dzieleniu przez 7: 0,1,2,3,4,5,6 czyli n = 7k lub n = 7k+1 lub n=7k+2 lub n=7k+3 lub n=7k+4 lub n=7k+5 lub n=7k+6 i te przypadki rozpatrujesz (podstawiasz do tej postaci do jakiej doprowadziłeś)

gauspn: aha rozumiej już skąd sie bierze przez co jest podzielne przez co. Ale teraz pytanie jeżeli rozpisałem juz wszystkie przypadki to jak mam dokończyć dowód?

Basia: opisowo; ponieważ w każdym przypadku dostałem liczbę podzielną przez 7 udowodniłem, że n⁷−n jest podzielne przez 7 dla każdego n∊N bo innych możliwości nie ma

gauspn: Czyli sprawdzam dla każdego nawiasu, poprawność wpisując 7k, jezeli nie jest prawdziwe, to sprawdzam dla nastepnego tak?

Eta: @ Basi Zastanawiam się jak by ocenili to zadanie gdyby ktoś napisał,że z małego tw. Fermata n^p−n gdzie p −− liczba pierwsza wynika podzielność przez p zatem 7| n⁷−n

Basia: jest prawdziwe w każdym z tych przypadków trzeba to udowodnić dla każdego przypadku oddzielnie

Basia: powinni na 6+

gauspn: A metoda indukcji mógl by ktos rozwiązać?

Eta: Można też tak : n²+n+1= (n+3)(n−2) +7 i n²−n+1= (n−3)(n+2)+7 n(n−1)(n+1)[(n+3)(n−2)+7]*[(n−3)(n+2)+7] po wymnożeniu otrzymujemy: (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3) +7*( ............... ) iloczyn siedmiu kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 7 i pozostały składnik też dzieli się przez 7 zatem ta liczba jest podzielna przez 7

Artur z miasta Neptuna: Eta ... na 6+ albo ... a skąd znasz tw. Fermata

Eta: No znam

gauspn: n2+n+1= (n+3)(n−2) +7 i n2−n+1= (n−3)(n+2)+7 Jak to rozpisałeś?

Artur z miasta Neptuna: Eta ... ale skąd poziom liceum = nie masz prawa znać tw. Fermata

Eta: Dopisała bym,że od "cioci Wiki "

Basia: Eta jeszcze niedawno wprawdzie chodziła do szkoły, ale już nie chodzi.... Wygonili ją.............................

Eta: Jak to jak? bo po wymnożeniu masz [(n+3)(n−2)+7]=n²+3n−2n−6+7= n²+n+1 ( zgadza się ?

Eta: Echh Basiu .... dowcipnisiu

Artur z miasta Neptuna: Eta ... to jako Twój nauczyciel bym powiedział ... skoro coś używasz ... to masz mi to udowodnić

Eta: Też tak bym powiedziała

Artur z miasta Neptuna: no to dawaj Eta ... tw. Fermata ... dowodzik ... już już masz 30 sekund

Eta: Gdyby mi tego nie uwzględnili ......... to napisała bym odwołanie

Eta: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ma%C5%82e_twierdzenie_Fermata

rumpek: Eta dokładnie tydzień temu też Cię o to pytałem, czy trzeba dowód robić przy takim zadaniu za 5pkt − dlatego lepiej się "zabezpieczać"

gauspn: Eta Zgadza sie tylko jak na to wpaść? jest jakiś wzór skróconego mnożenia?

Artur z miasta Neptuna: a pfff ... wikipedia się myli ... masz sama to udowodnić

Eta: Arturze zważ na mój wiek i daruj ....... ( teraz idę na herbatkę

Artur z miasta Neptuna: Eta ... a to Ty nie jesteś 'wieczna 18−nastka' łeee

Basia: metoda indukcji: na życzenie autora postu 1. dla n =1 n⁷−n = 1−1 = 0 = 7*0 2. Z: n⁷−n = 7*k gdzie k∊C T: (n+1)⁷−(n+1) = 7*m gdzie m∊C dowód: (n+1)⁷ − (n+1) =

7 0		7 1		7 2		7 5		7 6		7 7
	*n7 +		*n6 +		*n5+....+		*n2 +		*n +		*n0 − n − 1 =

	7 1		7 2		7 5		7 6
n7 +		*n6 +		*n5+....+		*n2 +		*n + 1 − n −1 =

	7 1		7 2		7 5		7 6
(n7−n) +		*n6 +		*n5+....+		*n2 +		*n =

7*k + 7*m₁+7*m₂+.....+7*m₆ =

	7 i
(bo każda liczba postaci		dla i = 1,...6 jest podzielna przez 7, można je ostatecznie

policzyć) = 7(k+m₁+...+m₆) = 7*m gdzie m∊C bo suma liczb całkowitych jest liczbą całkowitą c.b.d.o.

Eta: dla Basi